线性回归实现与应用

5817 字 · 1261 阅读 · 2023 年 05 月 02 日

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介绍

线性回归是一种较为简单,但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法,是深入了解线性回归的基本要求。除此之外,线性回归也是监督学习回归部分的基石,希望你能通过这篇文章掌握机器学习的一些重要的思想。

知识点

  • 一元线性回归
  • 平方损失函数
  • 最小二乘法及代数求解
  • 线性回归实现
  • 最小二乘法的矩阵推导

线性回归介绍

前面,我们了解了分类和回归问题的区别。也就是说,回归问题旨在实现对连续值的预测,例如股票的价格、房价的趋势等。比如,下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。

如上图所示,不同的房屋面积对应着不同的价格。现在,假设我手中有一套房屋想要出售,而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是,我想通过上图,也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢?

我采用的方法是这样的。如下图所示,首先画了一条红色的直线,让其大致验证橙色点分布的延伸趋势。然后,我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上,也就是蓝色点所在位置。最后,再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。

在上图呈现的这个过程中,通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程,就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系,也就是图中所绘制的红色直线。

此时,你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢?为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线,而偏偏要选择红色直线呢?

绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以,找到最适合的那一条红色直线,也是线性回归中需要解决的重要问题之一。

通过上面这个小例子,相信你对线性回归已经有一点点印象了,至少大致明白它能做什么。接下来的内容中,我们将了解线性回归背后的数学原理,以及使用 Python 代码对其实现。

一元线性回归

上面针对 线性回归 的介绍内容中,我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中,房屋面积为自变量,而房价则为因变量。另外,我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。

下面,我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。$x$ 为房屋面积,单位是平方米; $y$ 为房价,单位是万元。

教学代码

import numpy as np

x = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])
y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

动手练习

# 推荐运行 Jupyter Notebook 练习代码

示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来,通过 Matplotlib 绘制数据点,$x$, $y$ 分别对应着横坐标和纵坐标。

from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.scatter(x, y)
plt.xlabel("Area")
plt.ylabel("Price")

正如上面所说,线性回归即通过线性方程去拟合数据点。那么,我们可以令该 1 次函数的表达式为:

$$ y(x, w) = w_0 + w_1x \tag{1}$$

公式 $(1)$ 是典型的一元一次函数表达式,我们通过组合不同的 $w_0$ 和 $w_1$ 的值得到不同的拟合直线。

接下来,对公式 $(1)$ 进行代码实现:

def f(x, w0, w1):
    y = w0 + w1 * x
    return y

那么,哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢?

想要找出对数据集拟合效果最好的直线,这里再拿出上小节图示进行说明。如下图所示,当我们使用 $ y(x, w) = w_0 + w_1x $ 对数据进行拟合时,就能得到拟合的整体误差,即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小,是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢?

平方损失函数

正如上面所说,如果一个数据点为 ($x_{i}$, $y_{i}$),那么它对应的误差就为:

$$ y_{i}-(w_0 + w_1x_{i}) \tag{2}$$

上面的误差往往也称之为「残差」。但是在机器学习中,我们更喜欢称作「损失」,即真实值和预测值之间的偏离程度。那么,对 $n$ 个全部数据点而言,其对应的残差损失总和就为:

$$ \sum\limits_{i = 1}^n {{{(y_{i}-(w_0 + w_1x_{i}))}}} \tag{3}$$

更进一步,在线性回归中,我们一般使用残差的平方和来表示所有样本点的误差。公式如下:

$$ \sum\limits_{i = 1}^n {{{(y_{i}-(w_0 + w_1x_{i}))}}^2} \tag{4}$$

使用残差平方和的好处在于能保证损失始终是累加的正数,而不会存在正负残差抵消的问题。对于公式 $(4)$ 而言,机器学习中有一个专门的名词,那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 $w_0$ 和 $w_1$ 最优的数值,我们的目标就是让公式 $(4)$ 对应的平方损失函数最小。

同样,我们可以对公式 $(4)$ 进行代码实现:

def square_loss(x, y, w0, w1):
    loss = sum(np.square(y - (w0 + w1*x)))
    return loss

如果某条直线拟合样本得到的总损失最小,那么这条直线就是最终想得到的结果。而求解损失最小值的过程,就必须用到下面的数学方法了。

最小二乘法及代数求解

最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 $w$ 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方,最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。

简单来讲,最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么,到底该怎样求解呢?这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下:

首先,平方损失函数为:

$$ f = \sum\limits_{i = 1}^n {{{(y_{i}-(w_0 + w_1x_{i}))}}^2} \tag{5}$$

我们的目标是求取平方损失函数 $min(f)$ 最小时,对应的 $w$。首先求 $f$ 的 1 阶偏导数:

$$ \frac{\partial f}{\partial w_{0}}=-2(\sum_{i=1}^{n}{y_i}-nw_{0}-w_{1}\sum_{i=1}^{n}{x_i}) \tag{6a}$$
$$ \frac{\partial f}{\partial w_{1}}=-2(\sum_{i=1}^{n}{x_iy_i}-w_{0}\sum_{i=1}^{n}{x_i}-w_{1}\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2) \tag{6b}$$

然后,我们令 $\frac{\partial f}{\partial w_{0}}=0$ 以及 $\frac{\partial f}{\partial w_{1}}=0$,解得:

$$ w_{1}=\frac {n\sum_{}^{}{x_iy_i}-\sum_{}^{}{x_i}\sum_{}^{}{y_i}} {n\sum_{}^{}{x_i}^2-(\sum_{}^{}{x_i})^2} \tag{7b}$$
$$ w_{0}=\frac {\sum_{}^{}{x_i}^2\sum_{}^{}{y_i}-\sum_{}^{}{x_i}\sum_{}^{}{x_iy_i}} {n\sum_{}^{}{x_i}^2-(\sum_{}^{}{x_i})^2} \tag{7b}$$

到目前为止,已经求出了平方损失函数最小时对应的 $w$ 参数值,这也就是最佳拟合直线。

线性回归 Python 实现

我们将公式 $(7)$ 求解得到 $w$ 的过程进行代码实现:

def w_calculator(x, y):
    n = len(x)
    w1 = (n*sum(x*y) - sum(x)*sum(y))/(n*sum(x*x) - sum(x)*sum(x))
    w0 = (sum(x*x)*sum(y) - sum(x)*sum(x*y))/(n*sum(x*x)-sum(x)*sum(x))
    return w0, w1

于是,可以向函数 w_calculator(x, y) 中传入 $x$ 和 $y$ 得到 $w_0$ 和 $w_1$ 的值。

w_calculator(x, y)

当然,我们也可以求得此时对应的平方损失的值:

w0 = w_calculator(x, y)[0]
w1 = w_calculator(x, y)[1]

square_loss(x, y, w0, w1)

接下来,我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中:

x_temp = np.linspace(50, 120, 100)  # 绘制直线生成的临时点

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_temp, x_temp*w1 + w0, 'r')

从上图可以看出,拟合的效果还是不错的。那么,如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖,获得预估报价就只需要带入方程即可:

f(150, w0, w1)

这里得到的预估售价约为 154 万元。这就是一个最小二乘法求解线性回归问题的完整过程。

线性回归 scikit-learn 实现

上面的内容中,我们学习了什么是最小二乘法,以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么,我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢?

使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多,这里要用到 LinearRegression()。看一下其中的参数:

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=1)


- fit_intercept: 默认为 True,计算截距项。

- normalize: 默认为 False,不针对数据进行标准化处理。

- copy_X: 默认为 True,即使用数据的副本进行操作,防止影响原数据。

- n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1,若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。


from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 定义线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(x.reshape(len(x), 1), y)  # 训练, reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状

# 得到模型拟合参数
model.intercept_, model.coef_

这里,通过 model.intercept_ 可以得到拟合的截距项,即上面的 $w_{0}$,通过 model.coef_ 得到 $x$ 的系数,即上面的 $w_{1}$。对比发现,结果是完全一致的。

同样,我们可以预测 150 平米房产的价格:

model.predict([[150]])

可以看到,这里得出的结果和自行实现计算结果一致。

最小二乘法的矩阵推导及实现

学习完上面的内容,相信你已经了解了什么是最小二乘法,以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面,实验采用了求偏导数的方法,并通过代数求解找到了最佳拟合参数 $w$ 的值。这里,我们尝试另外一种方法,即通过矩阵的变换来计算参数 $w$。

首先,一元线性函数的表达式为 $ y(x, w) = w_0 + w_1x$,表达成矩阵形式为:

$$ \left[ \begin{array}{c}{1, x_{1}} \\ {1, x_{2}} \\ {\cdots} \\ {1, x_{9}} \\ {1, x_{10}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{w_{0}} \\ {w_{1}}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {\cdots} \\ {y_{9}} \\ {y_{10}}\end{array}\right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{c}{1,56} \\ {1,72} \\ {\cdots} \\ {1,94} \\ {1,74}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{w_{0}} \\ {w_{1}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{92} \\ {102} \\ {\cdots} \\ {105} \\ {92}\end{array}\right] \tag{8a}$$

即:

$$ y(x, w) = XW \tag{8b}$$

$(8)$ 式中,$W$ 为:

$$ \begin{bmatrix}w_{0}\\ w_{1}\end{bmatrix}$$

而 $X$ 则是:

$$ \begin{bmatrix}1, x_{1}\\ 1, x_{2}\\ \cdots\\ 1, x_{9}\\ 1, x_{10}\end{bmatrix}$$

然后,平方损失函数为:

$$ f = \sum\limits_{i = 1}^n {{{(y_{i}-(w_0 + w_1x_{i}))}}}^2 =(y-XW)^T(y-XW)\tag{9}$$

通过对公式 $(9)$ 实施矩阵计算乘法分配律得到:

$$ f = y^{T}y - y^{T}(XW) - (XW)^{T}y + (XW)^{T}(XW) \tag{10}$$

在该公式中 $y$ 与 $XW$ 皆为相同形式的 $(m,1)$ 矩阵,由此两者相乘属于线性关系,所以等价转换如下:

$$ f = y^{T}y - (XW)^{T}y - (XW)^{T}y + (XW)^{T}(XW)\\ = y^{T}y - 2 (XW)^{T}y + (XW)^{T}(XW) \tag{11}$$

此时,对 矩阵求偏导数 得到:

$$ \frac{\partial f}{\partial W}=2X^TXW-2X^Ty=0 \tag{12}$$

当矩阵 $X^TX$ 满秩时, $(X^TX)^{-1}X^TX=E$,且 $EW=W$。所以有 $(X^TX)^{-1}X^TXW=(X^TX)^{-1}X^Ty$,并最终得到:

$$ W=(X^TX)^{-1}X^Ty \tag{13}$$

我们可以针对公式 $(13)$ 进行代码实现:

def w_matrix(x, y):
    w = (x.T * x).I * x.T * y
    return w

这里计算时,需要对原 $x$ 数据添加截距项系数 1。

x = np.matrix([[1, 56], [1, 72], [1, 69], [1, 88], [1, 102],
               [1, 86], [1, 76], [1, 79], [1, 94], [1, 74]])
y = np.matrix([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

w_matrix(x, y.reshape(10, 1))

可以看到,矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问,那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算?一开始学习的代数计算方法不好吗?

其实,并不是说代数计算方式不好,在小数据集下二者运算效率接近。但是,当我们面对十万或百万规模的数据时,矩阵计算的效率就会高很多,这就是为什么要学习矩阵计算的原因。

线性回归预测实战

目前,你已经学习了如何使用最小二乘法进行线性回归拟合,以及通过代数计算和矩阵变换两种方式计算拟合系数 $w$,这已经达到了掌握线性回归方法的要求。接下来,我们将尝试加载一个真实数据集,并使用 scikit-learn 构建预测模型,实现回归预测。

既然前面的 2 个小节中,都使用了和房价相关的示例数据。这里,我们就采用一个真实的房价数据集,也就是「波士顿房价数据集」。

数据集介绍及划分

波士顿房价数据集 是机器学习中非常知名的数据集,它被用于多篇回归算法研究的学术论文中。该数据集共计 506 条,其中包含有 13 个与房价相关的特征以及 1 个目标值(房价)。

首先,我们使用 Pandas 加载并预览数据集。

import pandas as pd

df = pd.read_csv(
    "https://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/1081/course-5-boston.csv")

查看 DataFrame 前 5 行数据。

df.head()

该数据集统计了波士顿地区各城镇的住房价格中位数,以及与之相关的特征。每列数据的列名解释如下:

  • CRIM: 城镇犯罪率。
  • ZN: 占地面积超过 2.5 万平方英尺的住宅用地比例。
  • INDUS: 城镇非零售业务地区的比例。
  • CHAS: 查尔斯河是否经过 (=1 经过,=0 不经过)。
  • NOX: 一氧化氮浓度(每 1000 万份)。
  • RM: 住宅平均房间数。
  • AGE: 所有者年龄。
  • DIS: 与就业中心的距离。
  • RAD: 公路可达性指数。
  • TAX: 物业税率。
  • PTRATIO: 城镇师生比例。
  • BLACK: 城镇的黑人指数。
  • LSTAT: 人口中地位较低人群的百分数。
  • MEDV: 城镇住房价格中位数。

这篇文章中,我们不会使用到全部的数据特征。这里,仅选取 CRIM, RM, LSTAT 三个特征用于线性回归模型训练。我们将这三个特征的数据单独拿出来,并且使用 describe() 方法查看其描述信息。 describe() 统计了每列数据的个数、最大值、最小值、平均数等信息。

features = df[['crim', 'rm', 'lstat']]
features.describe()

同样,我们将目标值单独拿出来。训练一个机器学习预测模型时,我们通常会将数据集划分为 70% 和 30% 两部分。

其中,70% 的部分被称之为训练集,用于模型训练。例如,这里的线性回归,就是从训练集中找到最佳拟合参数 $w$ 的值。另外的 30% 被称为测试集。对于测试集而言,首先我们知道它对应的真实目标值,然后可以给学习完成的模型输入测试集中的特征,得到预测目标值。最后,通过对比预测的目标值与真实目标值之间的差异,评估模型的预测性能。

上图就是一个简单的机器学习模型训练流程。接下来,我们针对数据集的特征和目标进行分割,分别得到 70% 的训练集和 30% 的测试集。其中,训练集特征、训练集目标、测试集特征和测试集目标分别定义为:X_train, y_train, X_test, y_test

target = df['medv']  # 目标值数据

split_num = int(len(features)*0.7)  # 得到 70% 位置

X_train = features[:split_num]  # 训练集特征
y_train = target[:split_num]  # 训练集目标

X_test = features[split_num:]  # 测试集特征
y_test = target[split_num:]  # 测试集目标

构建和训练模型

划分完数据集之后,就可以构建并训练模型。同样,这里要用到 LinearRegression() 类。对于该类的参数就不再重复介绍了。

model = LinearRegression()  # 建立模型
model.fit(X_train, y_train)  # 训练模型
model.coef_, model.intercept_  # 输出训练后的模型参数和截距项

上面的单元格中,我们输出了线性回归模型的拟合参数。也就是最终的拟合线性函数近似为:

$$ f = 0.6997 * x_{1} + 10.1356 * x_{2} - 0.2053 * x_{3} - 38 \tag{14}$$

其中,$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ 分别对应数据集中 CRIM, RMLSTAT 列。接下来,向训练好的模型中输入测试集的特征得到预测值。

preds = model.predict(X_test)  # 输入测试集特征进行预测
preds  # 预测结果

对于回归预测结果,通常会有平均绝对误差、平均绝对百分比误差、均方误差等多个指标进行评价。这里,我们先介绍两个:

平均绝对误差(MAE)就是绝对误差的平均值,它的计算公式如下:

$$ \textrm{MAE}(y, \hat{y} ) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{|y_{i}-\hat y_{i}|}\tag{15}$$

其中,$y_{i}$ 表示真实值,$\hat y_{i}$ 表示预测值,$n$ 则表示值的个数。MAE 的值越小,说明模型拥有更好的拟合程度。我们可以尝试使用 Python 实现 MAE 计算函数:

def mae_value(y_true, y_pred):
    n = len(y_true)
    mae = sum(np.abs(y_true - y_pred))/n
    return mae

均方误差(MSE)它表示误差的平方的期望值,它的计算公式如下:

$$ \textrm{MSE}(y, \hat{y} ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y_i})^{2}\tag{16}$$

其中,$y_{i}$ 表示真实值,$\hat y_{i}$ 表示预测值,$n$ 则表示值的个数。MSE 的值越小,说明预测模型拥有更好的精确度。同样,我们可以尝试使用 Python 实现 MSE 计算函数:

def mse_value(y_true, y_pred):
    n = len(y_true)
    mse = sum(np.square(y_true - y_pred))/n
    return mse

于是,我们可以计算出上面模型的平均指标,即预测结果的 MSE 和 MAE 值:

mae = mae_value(y_test.values, preds)
mse = mse_value(y_test.values, preds)

print("MAE: ", mae)
print("MSE: ", mse)

可以看到,这里模型预测结果的平均绝对误差约为 13.02。如果你计算一下全部目标值的平均值(结果为 22 左右),你会发现 13.02 的平均绝对误差在这篇文章中应该说是很大了。这也就说明模型的表现并不好,这是什么原因呢?

这主要是因为我们没有针对数据进行预处理。上面的文章中,我们随机选择了 3 个特征,并没有合理利用数据集提供的其他特征。除此之外,也没有针对异常数据进行剔除以及规范化处理。

当然,关于使用机器学习训练模型过程中涉及到的数据预处理知识,我们会在后续介绍。掌握好线性回归的原理和实现方法,才是这篇文章内容的重点。

小结

这篇文章,我们从线性回归原理入手,学习了最小二乘法的两种求解方法,并针对线性回归算法进行了完整实现。在这个过程中,你了解到了机器学习的训练和预测流程,以及背后的数学思想。

总结而来,一个机器学习过程往往包含训练和预测两部分,训练好的模型可用于对未知数据的预测。而训练模型的过程,实际上是应用机器学习算法解决问题的过程。其中,我们通常会定义一个损失函数(平方损失函数),并使用一种数学优化方法(最小二乘法)去求解该损失函数的最优解。这个思想将始终贯穿于机器学习之中。


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